小学四年级奥数巧妙求和练习题

小学四年级奥数巧妙求和练习题

若干个数排成一列称为数列。数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的`差称为公差。

在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。

通项公式：第n项=首项+(项数-1)×公差

项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1

【例题1】 有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项?

【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。

项数=(52-4)÷6+1=9，即这个数列共有9项。

练习1：

1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项?

2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项?

3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项?

【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少?

【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项，可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。

第100项=3+4×(100-1)=399.

练习2：

1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少?

2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。

3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。

【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。请求出这个数列所有项的和。

【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到(1+100)+(2+99)+ (3+98)+…+(99+2)+(100+1)，其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2 倍，再除以2.就是所求数列的和。

1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050

上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：

等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2

这个公式也叫做等差数列求和公式。

练习3：

计算下面各题。

(1)1+2+3+…+49+50

(2)6+7+8+…+74+75

(3)100+99+98+…+61+60

【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。

【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。

要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=(末项-首项)÷公差+1=(50-2)÷2+1=25

首项=2.末项=50，项数=25

等差数列的和=(2+50)×25÷2=650.

练习4：

计算下面各题。

(1)2+6+10+14+18+22

(2)5+10+15+20+…+195+200

(3)9+18+27+36+…+261+270

【例题5】计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)

【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。

进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。

(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)

=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(100-99)

=1+1+1+…+1

=50

练习5：

用简便方法计算下面各题。

(1)(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994)

(2)(2+4+6+…+2000)-(1+3+5+…+1999)

(3)(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+…+1998)